# Real Number Space

# Real Number System

• 定义实数系统的两种方法

• 此处采用方法 2 进行讨论

# Algebraic Axioms

# Additive Group

• 满足以下 4 个群公理的具有运算 + （称为 group law）的集合$G$ 称为加群 (additive group)

• 进一步，满足性质：$\forall a_1,a_2\in G, a_1+a_2=a_2+a_1$ 的加群$(G,+)$ 称为阿贝尔 (Abelian) 加群或交换 (commutative) 加群。反之则称为非阿贝尔 (non-Abelian) 加群或非交换 (non-commutative) 加群。

# An example of additive group

$$G=\{0,1\|0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0\}$$

• 注意此处$1+1=0$ 式表明两点：第一，在加群$(G,+)$ 中，$1$ 即为其本身的逆元；第二，保证了加群$(G,+)$ 的封闭性。

# Multiplicative Group

• 满足以下 4 个群公理的具有运算 × （称为 group law）的集合$G$ 称为乘群 (multiplicative group)

• 进一步，满足性质：$\forall a_1,a_2\in{G}, a_1\times a_2=a_2\times a_1$ 的乘群$({G},\times )$ 称为阿贝尔 (Abelian) 乘群或交换 (commutative) 乘群。反之则称为非阿贝尔 (non-Abelian) 乘群或非交换 (non-commutative) 乘群。

# An example of multiplicative group

$${G}=\{0,1\|0\times 0=0,0\times 1=1,1\times 0=0,1\times 1=1\}$$

• 注意此处$0$ 不再是乘群$({G},\times)$ 的单位元；$1$ 既是单位元（幺元），也是逆元。

# Group

# Ring (with unity)

• 满足以下 3 组环公理的具有两个二元运算 × 、 + 的集合${R}$ 称为环（幺环）(Ring with unity)

• (1.1) 隐含了加法封闭性 (Closure)。

# Abelian Ring

• 满足以下 3 组环公理的具有两个二元运算 × 、 + 的集合${R}$ 称为阿贝尔环（交换环）(Abelian Ring = Commutative Ring)

• (1.1) 和 (2.1) 分别隐含了加法封闭性与乘法封闭性。

# Field

• 满足以下 3 组环公理的具有两个二元运算 × 、 + 的集合${F}$ 称为域 (Field)

# Ring to Field

• 幺环 (Ring with unity or identity): 对一个环 ${R}$, $\exist 1\in {R},\mathrm{s.t.}\ 1\neq 0$ 且 $\forall a\in {R}, 1\times a=a\times 1=a$
• 整环 (integral domain): 对一个交换幺环 (commutative ring with identity) ${R}$, $\forall a_1,a_2\in{R},\mathrm{s.t.}\ a_1\times a_2=0, a_1=0\ \mathrm{or}\ a_2=0$
  • 即无零因子（零因子：$\exist e\neq 0\in{R},\mathrm{s.t.}\ \forall a\in{R},a\times e=0$，如由方阵组成的环中，所有不可逆矩阵都是零因子）
• 除环 (division ring): 对一个幺环 ${R}$，每一个非零元素都是一个单位 (unit)
  • 即 $\forall a\neq 0\in {R},\exist !a^{-1},\mathrm{s.t.}\ a^{-1}\times a=a\times a^{-1}=1$
• 交换除环即为域

$$Rings:\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}\\ Fields:\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$$

# Relations between group, ring, field

# Vector Space

• 满足以下 8 条公理的具有两种运算的在域${F}$ 上的集合${V}$ 称为向量空间（线性空间）(Linear Space = Vector Space)

• 两种运算

  • 向量加法 + (vector addition or simply addition): ${V}+{V}\to{V}$.
  • 标乘（数乘） · (scarlar multiplication): ${F}\cdot{V}\to{V}$.

• 两种运算皆封闭

• 8 条公理

• (6) Compatibility of Scalar Multiplication with Field Multiplication
  • $\forall a_1,a_2\in {F},\forall v\in {V}, a_1\cdot (a_2\cdot v)=(a_1\times a_2)\cdot v$
• (7) Distributivity of Scalar Multiplication with respect to Vector Addition
  • $\forall a\in {F},\forall v_1,v_2\in {V}, a\cdot (v_1+v_2)=a\cdot v_1+a\cdot v_2$
• (8) Distributivity of Scalar Multiplication with respect to Field Addition
  • $\forall a_1,a_2\in {F},\forall v\in {V}, (a_1+a_2)\cdot v=a_1\cdot v+ a_2\cdot v$

# Order Axioms

• 严格正数集 (the set of strictly positive numbers) $\mathbb{P}$ 是实数集$\mathbb{R}$ 的子集，满足以下 3 个命题：

  • (1) For any real number $a$ in $\mathbb{R}$, exactly one of the following holds: $a=0$ or $a\in\mathbb{P}$ or $-a\in\mathbb{P}$.
    • $\mathbb{P}=\mathbb{R}_{+}\setminus\{0\}=\mathbb{R}_{++}$.
  • (2) If $a_1$ and $a_2$ in $\mathbb{P}$, $a_1+a_2\in$ $\mathbb{P}$.
  • (3) If $a_1$ and $a_2$ in $\mathbb{P}$, $a_1\cdot a_2\in$ $\mathbb{P}$.

• 这表明了$\mathbb{P}$ 是一个正锥

  • 先有正锥$\mathbb{P}$，后有序关系

• 进而可以定义 “小于” (Less Than Relation) 如下：

  • $a_1<a_2$ to mean $a_2-a_1\in\mathbb{P}$ ($a_2-a_1\in\mathbb{R}_{++}$)
  • $a_1\leq a_2$ to mean $a_2-a_1\in\mathbb{P}$ or $a_1=a_2$ ($a_2-a_1\in\mathbb{R}_{+}$)
  • $a_1>a_2$ to mean $a_1-a_2\in\mathbb{P}$ ($a_1-a_2\in\mathbb{R}_{++}$)
  • $a_1\geq a_2$ to mean $a_1-a_2\in\mathbb{P}$ or $a_1=a_2$ ($a_1-a_2\in\mathbb{R}_{+}$)

• “大于”：$a_1<a_2$ 当且仅当 $a_2>a_1$； $a_1\leq a_2$ 当且仅当 $a_2\geq a_1$

# Ordered Field

• 具有（1）两种运算 $\oplus$, $\otimes$（2）对应零元 $0_\oplus$, $0_\otimes$（3）满足对应版本序公理 (1)-(2)-(3) 的子集${P}$ 的域${F}$，称为有序域 (ordered field)
• 即：能定义正锥的域是有序域
  • 例如：$\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 都是有序域，但 $\mathbb{C}$ 不是（无法定义正锥）

# Completeness Axioms

• 7 条实数的完备性 (Completeness) 公理（定理），它们互相等价

# Dedekind - Cantor Axiom of Continuity of Real Line

# Dedekind Completeness Axiom

• 设${A}$ 与${B}$ 是具有以下性质的非空实数集：
  • (1) 如果$a\in {A},b\in {B}$，那么$a<b$;
  • (2) 每个实数要么在${A}$ 中，要么在${B}$ 中（即：${A}\cup {B}=\mathbb{R}$）.
• 那么存在唯一的实数$c$ 使得：
  • (1) 若$a<c$，则$a\in {A}$，并且
  • (2) 若$b>c$，则$b\in {B}$.

• 戴德金完备性公理表明了在实数中没有 “孔”。

# Dedkind Cut

• 根据定义 (2)，$c$ 要么在${A}$ 中，要么在${B}$ 中，因此：
  • 若$c\in {A}$，则${A}=(-\infty,c], {B}=(c,\infty)$;
  • 若$c\in {B}$，则${A}=(-\infty,c), {B}=[c,\infty)$.
• 这样的集合对$\{ {A}, {B}\}$ 称为戴德金分割 (Dedkind Cut)

# Dedekind - Cantor Axiom of Continuity of Real Line

• 假设集合对$( {A}, {A}^c)$ 是一个关于$\mathbb{R}$ 的戴德金分割，并具有性质：
  • 如果$a\in {A},b\in {A}^c$，那么$a<b$.
• 则：要么$A$ 中存在最大值，要么${A}^c$ 中存在最小值：
  • 若${A}$ 中存在最大值$c$，则${A}=(-\infty,c], {A}^c=(c,\infty)$;
  • 若${A}^c$ 中存在最小值$c$，则${A}=(-\infty,c), {A}^c=[c,\infty)$.

# Theorem of Supremum and Infimum

# Supremum and Infimum

• ${S}$ 为一个实数的集合，若$\forall x\in S,x\leq u$，则称$u$ 是${S}$ 的一个上界 (upper bound);
  • 设$b$ 是${S}$ 的一个上界，若$b\leq u$, $u$ 为${S}$ 的任一上界，则称$b$ 为${S}$ 的上确界 (l.u.b or supremum or sup).
• ${S}$ 为一个实数的集合，若$\forall x\in S,x\geq d$，则称$d$ 是${S}$ 的一个下界 (lower bound);
  • 设$l$ 是${S}$ 的一个上界，若$l\geq d$, $d$ 为${S}$ 的任一上界，则称$l$ 为${S}$ 的下确界 (g.l.b or infimum or inf).

# Supremum and Infimum Completeness Axiom

• 上确界定理（上确界完备性公理）：设${S}$ 为一个有上界的非空实数集，则${S}$ 在$\mathbb{R}$ 中有一个上确界。
• 下确界定理（下确界完备性公理）：设${S}$ 为一个有下界的非空实数集，则${S}$ 在$\mathbb{R}$ 中有一个上确界。

# Proposition on Supremum and Infimum

上确界：

• 定义：设$S$ 是一个非空实数集，则$b=\sup S$ 当且仅当
  • (1) $\forall x\in S, x\leq b$;
  • (2) $b\leq u$, $u$ 为$S$ 的任意上界.
• 命题：设$S$ 是一个非空实数集，则$b=\sup S$ 当且仅当
  • (1) $\forall x\in S, x\leq b$;
  • (2') $\forall \varepsilon>0, \exist x\in S, \mathrm{s.t.}\ x>b-\varepsilon$.

下确界：

• 定义：设$S$ 是一个非空实数集，则$l=\inf S$ 当且仅当
  • (1) $\forall x\in S, x\geq l$;
  • (2) $l\geq d$, $d$ 为$S$ 的任意下界.
• 命题：设$S$ 是一个非空实数集，则$l=\inf S$ 当且仅当
  • (1) $\forall x\in S, x\geq l$;
  • (2') $\forall \varepsilon>0, \exist x\in S, \mathrm{s.t.}\ x<l+\varepsilon$.

# Theorem of Limit of Monotone Sequence

# Bounded Monotone Sequence

• 有界 (bounded) 序列：A sequence is bounded if the set of terms from the sequence is bounded.
• 单调 (monotone) 序列：A sequence $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}\subseteq\mathbb{R}$ is
  • (1) increasing if $x_n\leq x_{n+1},\forall n\in\mathbb{N}$;
  • (2) decreasing if $x_n\geq x_{n+1},\forall n\in\mathbb{N}$;
  • (3) strictly increasing if $x_n>x_{n+1},\forall n\in\mathbb{N}$;
  • (4) strictly decreasing if $x_n<x_{n+1},\forall n\in\mathbb{N}$;
• A sequence is monotone if it is either increasing of decreasing.

# Theorem on Limit of Bounded Monotone Sequence

• Theorem: Every bounded monotone sequence in $\mathbb{R}$ has a limit in $\mathbb{R}$.（单调有界数列必有极限）
  • Increasing Sequence: Suppose $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$ is an increasing sequence of real numbers which is bounded above. Then there exists a limit of $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$, or $\lim_{n \to \infty} x_n$ exists.
  • Decreasing Sequence: Suppose $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$ is a decreasing sequence of real numbers which is bounded below. Then there exists a limit of $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$, or $\lim_{n \to \infty} x_n$ exists.

# Cantor Nested Intervals Theorem

• Definition: $\{I_n=[d_n,u_n]:n\in\mathbb{N}\}$ is a sequence of closed bounded nested intervals（闭区间套）if $I_1\supseteq I_2\supseteq \dots \supseteq I_n\supseteq \dots$.
• 定理 1：若$\{I_n=[d_n,u_n]:n\in\mathbb{N}\}$ 是一个闭区间套，则存在一个实数$D=\sup\{d_n:n\in\mathbb{N}\}$，使得$D\in\cap^{\infty}_{n=1}I_n$.
• 定理 2：若$\{I_n=[d_n,u_n]:n\in\mathbb{N}\}$ 是一个闭区间套，则存在一个实数$U=\inf\{u_n:n\in\mathbb{N}\}$，使得$U\in\cap^{\infty}_{n=1}I_n$.
• 闭区间套定理：若$\{I_n=[d_n,u_n]:n\in\mathbb{N}\}$ 是一个闭区间套，则存在两个实数$D=\sup\{d_n:n\in\mathbb{N}\}$，$U=\inf\{u_n:n\in\mathbb{N}\}$，使得$[D,U]=\cap^{\infty}_{n=1}I_n$.
• 闭区间套定理：若$\{I_n=[d_n,u_n]:n\in\mathbb{N}\}$ 是一个闭区间套，且$\lim_{n \to \infty}|I_n|= \lim_{n \to \infty}(u_n-d_n)=0$，则$\lim_{n \to \infty}d_n=\lim_{n \to \infty}u_n\in\cap^{\infty}_{n=1}I_n$.

# Bolzano - Weierstrass Theorem

# Bolzano Theorem

• Theorem: Each bounded sequence in $\mathbb{R}$ has a convergent subsequence.（有界数列必有收敛子列）
• Theorem: Each bounded sequence in $\mathbb{R}$ has a limit point.（有界数列必有极限点）

# Weierstrass Theorem on Accumulation Point

• Accumulation Point（聚点）：For all $\varepsilon>0$, it exists infinite $x_n$ such that $|x_n-x|<\varepsilon$, thus $x$ is an accumulation point of sequence $\{x_n\}$.
• Theorem: Every bounded infinite set in $\mathbb{R}$ has an accumulation point.

# Cauchy Convergence Criterion

• 柯西序列 (Cauchy Sequence): $\{x_n:n\in\mathbb{N}\}\subseteq\mathbb{R}$ 是一个柯西序列，当：$\forall \varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\mathrm{s.t.}\ |x_{n_1}-x_{n_2}|<\varepsilon\ (n_1>N,n_2>N)$.
• 柯西收敛准则：序列$\{x_n:n\in\mathbb{N}\}\subseteq\mathbb{R}$ 是收敛 (convergent) 的当且仅当其为一个柯西序列。

# Heine - Borel Theorem

• Definition: A collection $\mathcal{H}$ of open sets is an open covering（开覆盖） of a set $S$ if every point in $S$ is contained in a set $H$ belonging to $\mathcal{H}$: that is, $S\subseteq\{H\in\mathcal{H}\}$.
• Theorem: If $\mathcal{H}$ is an open covering of a closed and bounded subset $S$ of the real line; then $S$ has an open covering $\tilde{\mathcal{H}}$ consisting of finite many open sets belonging to $\mathcal{H}$.

# Propositions of Continuous Funtion on Closed Interval

• Theorem on Boundedness: If function $f$ is continuous on a bounded closed interval, then it is bounded.
  • Hint: Bolzano-Weierstrass Theorem
  • Hint: Heine-Borel Theorem on Finite Coverings
• Theorem on Maximum and Minimum Values: If function $f$ is continuous on a bounded closed interval, then is has (reaches) maximum and minimum values.
  • Hint: Theorem of Supremum and Infimum + Bolzano-Weierstrass Theorem
• Theorem on Solution: If function $f$ is continuous on a bounded closed interval $[D,U]$, and $f(D)f(U)<0$, then there exists a solution on $(D,U)$ to equation $f(x)=0$.
  • Hint: Cantor Nested Intervals Theorem
• Theorem on Inverse Function: If function $y=f(x)$ is continuous and strictly monotonic increasing (or decreasing) on a bounded closed interval $[D,U]$, and $f(D)=L$ and $f(U)=B$, then there exists a continous and strictly monotonic increasing (or decreasing) inverse function $x=g(y)$ on bounded closed interval $[L,B]$ (or $[B,L]$).
• Cantor Theorem on Uniform Continuity: If function $f$ is continuous on a bounded closed interval, then it is uniformly continuous.
  • Hint: Bolzano-Weierstrass Theorem
  • Hint: Heine-Borel Theorem on Finite Coverings

!! 参考证明见：陈继修等《数学分析（上册）》！！

# N-dimensional Real Number Space

• Definition: $N$-dimensional Euclidean space, or $N$-dimensional continuum, is the set $\mathbb{R}^N$ of all number tuple of $N$ real numbers.
  • $\mathbb{R}^N=\{x=(x_1,\cdots,x_N):x_n\in\mathbb{R}\ \mathrm{for}\ n=1,\cdots,N\}.$

# Distance - Metric

• For any two points $x^i=(x_1^i,\cdots,x_N^i)\in\mathbb{R}^N$ for $i=1,2$, define distance between the two points:
  • $\rho(x^1,x^2)=\left\{\sum^N_{n=1}(x_n^1-x_n^2)^2\right\}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{(x_1^1-x_1^2)^2+\cdots+(x_N^1-x_N^2)^2}$.

# Propositions of Distance

• Positivity: $\rho(x^1,x^2)\geq 0$. $\rho(x^1,x^2)=0$ if and only if $x^1=x^2$.
• Symmetry: $\rho(x^1,x^2)=\rho(x^2,x^1)$.
• Triangle Inequality: $\rho(x^1,x^3)\leq \rho(x^1,x^2)+\rho(x^2,x^3)$.
  • $\rho(x^1,\cdot)$ is a countinuous function on $x^2$: $\lim_{\rho(x_n^2,x^2)\to 0}\rho(x^1,x_n^2)=\rho(x^1,x^2)$.

# Norm

• For any two points $x^i=(x_1^i,\cdots,x_N^i)\in\mathbb{R}^N$ for $i=1,2$, define the norm as:
  • $\|x\|=\left\{\sum_{n=1}^Nx_n^2\right\}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x_1^2+\cdots x_N^2}=\rho(x,0)$.

# Propositions of Norm

• Positivity: $\|x\|\geq 0$. $\|x\|=0$ if and only if $x=0$.
• Symmetry: $\|x\|=\|-x\|$.
• Triangle Inequality: $\|x^1+x^2\|\leq \|x^1\|+\|x^2\|$.